Canonical URI: https://w3id.org/kmath/textbook_solution/mirae_solution_p150_p094_01
| rdf:type | math:TextbookSolution |
|---|---|
| rdfs:label | 미래엔 p094 창의 Up 프로젝트 풀이 |
| rdfs:comment | 미래엔 공통수학1 정답 및 풀이 p150-p151의 p094 창의 Up 프로젝트 풀이. |
| math:answerText | (1) 양수인 근 2개와 음수인 근 1개, (2) 양수인 근 1개와 음수인 근 2개, (3) 양수인 근 2개와 음수인 근 0개, (4) 양수인 근 1개와 음수인 근 1개 |
| math:explanationText | (1) \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\)으로 놓으면 \(f(x)\)의 계수의 부호 변화 횟수가 2이므로 \(f(x)=0\)의 양수인 근의 개수는 2 또는 0이다. \(f(-x)=-x^3+x^2+5x+3\)에서 계수의 부호 변화 횟수가 1이므로 음수인 근의 개수는 1이다. 실제로 \(x^3+x^2-5x+3=0\)에서 \((x-1)^2(x+3)=0\)이므로 \(x=1\)(중근) 또는 \(x=-3\)이다. 따라서 양수인 근 2개와 음수인 근 1개를 갖는다. (2) \(f(x)=4x^3-3x-1\)로 놓으면 \(f(x)\)의 계수의 부호 변화 횟수가 1이므로 양수인 근의 개수는 1이다. \(f(-x)=-4x^3+3x-1\)에서 계수의 부호 변화 횟수가 2이므로 음수인 근의 개수는 2 또는 0이다. 실제로 \(4x^3-3x-1=0\)에서 \((x-1)(2x+1)^2=0\)이므로 \(x=1\) 또는 \(x=-\frac{1}{2}\)(중근)이다. 따라서 양수인 근 1개와 음수인 근 2개를 갖는다. (3) \(f(x)=x^4-4x^3+8x^2-8x+3\)으로 놓으면 \(f(x)\)의 계수의 부호 변화 횟수가 4이므로 양수인 근의 개수는 4 또는 2 또는 0이다. \(f(-x)=x^4+4x^3+8x^2+8x+3\)에서 계수의 부호 변화 횟수가 0이므로 음수인 근의 개수는 0이다. 실제로 \(x^4-4x^3+8x^2-8x+3=0\)에서 \((x-1)^2(x^2-2x+3)=0\)이므로 \(x=1\)(중근) 또는 \(x=1\pm\sqrt{2}i\)이다. 따라서 양수인 근 2개와 음수인 근 0개를 갖는다. (4) \(f(x)=x^4+x^3-x-1\)로 놓으면 \(f(x)\)의 계수의 부호 변화 횟수가 1이므로 양수인 근의 개수는 1이다. \(f(-x)=x^4-x^3+x-1\)에서 계수의 부호 변화 횟수가 3이므로 음수인 근의 개수는 3 또는 1이다. 실제로 \(x^4+x^3-x-1=0\)에서 \((x-1)(x+1)(x^2+x+1)=0\)이므로 \(x=1\) 또는 \(x=-1\) 또는 \(x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)이다. 따라서 양수인 근 1개와 음수인 근 1개를 갖는다. |
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