Canonical URI: https://w3id.org/kmath/textbook_solution/donga_solution_p155_p102_14
| rdf:type | math:TextbookSolution |
|---|---|
| rdfs:label | 동아 p102 단원 마무리 14 풀이 |
| rdfs:comment | 동아 공통수학1 정답 및 풀이 p155의 p102 단원 마무리 14 풀이. |
| math:answerText | \(a=-\frac{1}{6},\ 0,\ 4\) |
| math:explanationText | \[ x^3+(2a-1)x^2+2ax-4a=0 \] 에서 \[ (x-1)(x^2+2ax+4a)=0 \] 이므로 주어진 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)인 경우는 다음과 같다. (i) \(x^2+2ax+4a=0\)의 실근 \(1,\ \alpha(\alpha\ne 1)\)을 갖는 경우 \(x=1\)이 이차방정식 \(x^2+2ax+4a=0\)의 근이므로 \[ 1+2a+4a=0,\quad a=-\frac{1}{6} \] 즉, \(x^2-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=0\)이므로 \[ x=1\text{ 또는 }x=-\frac{2}{3} \] 따라서 \(a=-\frac{1}{6}\)이면 주어진 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\)이다. (ii) \(x^2+2ax+4a=0\)이 \(1\)이 아닌 중근을 갖는 경우 이차방정식 \(x^2+2ax+4a=0\)의 판별식 \(D\)가 \(D=0\)이어야 하므로 \[ D=(2a)^2-4\times 1\times 4a=0,\quad a(a-4)=0 \] \[ a=0\text{ 또는 }a=4 \] ① \(a=0\)이면 \(x^2=0\)이므로 \(x=0\) (중근) ② \(a=4\)이면 \(x^2+8x+16=0\)이므로 \(x=-4\) (중근) 따라서 \(a=0\) 또는 \(a=4\)이면 주어진 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\)이다. (i), (ii)에서 구하는 실수 \(a\)의 값은 \[ -\frac{1}{6},\ 0,\ 4 \] 채점 기준 ① 삼차방정식의 좌변을 인수분해 하기: 20 % ② 이차방정식의 실근이 \(1,\ \alpha(\alpha\ne 1)\)인 경우 \(a\)의 값 구하기: 35 % ③ 이차방정식이 중근을 갖는 경우 \(a\)의 값 구하기: 35 % ④ 실수 \(a\)의 값 모두 구하기: 10 % |
| math:mappingConfidence | 1.0 |
| math:pageStart | 155 |
| math:problem | textbook_problem:donga_vision_p102_unit_review_14 |
| math:reviewStatus | reviewed |
| math:solutionKind | worked_solution |
| math:usesSolutionPattern | solution_pattern:discriminant_case_analysis |
| math:usesSolutionPattern | solution_pattern:quadratic_formula |