Canonical URI: https://w3id.org/kmath/textbook_solution/chunjae_hong_solution_p151_p091_midcheck_11
| rdf:type | math:TextbookSolution |
|---|---|
| rdfs:label | 천재홍 p091 중단원 점검하기 11 풀이 |
| rdfs:comment | 천재홍 공통수학1 정답 및 풀이 p151의 p091 중단원 점검하기 11 풀이. |
| math:answerText | \(-1\) |
| math:explanationText | \(P(x)=x^3-ax^2+ax-1\)이라고 하면 \(P(1)=0\)이므로 \(x-1\)은 \(P(x)\)의 인수이다. 조립제법을 이용하여 \(P(x)\)를 인수분해하면 \(P(x)=(x-1)\{x^2+(-a+1)x+1\}\). 즉, 주어진 삼차방정식은 \((x-1)\{x^2+(-a+1)x+1\}=0\). 이 삼차방정식이 한 개의 실근과 두 개의 허근을 가지므로 이차방정식 \(x^2+(-a+1)x+1=0\)의 판별식을 \(D\)라고 하면 \(D<0\)이어야 한다. \(D=(-a+1)^2-4\times1\times1=a^2-2a-3\)에서 \((a+1)(a-3)<0\), 즉 \(-1<a<3\). 이때 \(a\)는 정수이므로 가능한 \(a\)의 값은 \(0,\ 1,\ 2\)이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 \(\alpha+\beta=a-1,\ \alpha\beta=1\)이므로 \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=(a-1)^2-2\). 따라서 \(\alpha^2+\beta^2\)의 최댓값은 \(a=0\) 또는 \(a=2\)일 때 \(-1\)이다. |
| math:mappingConfidence | 1.0 |
| math:pageStart | 151 |
| math:problem | textbook_problem:chunjae_hong_vision_p091_midcheck_11 |
| math:reviewStatus | reviewed |
| math:solutionKind | worked_solution |
| math:usesSolutionPattern | solution_pattern:discriminant_case_analysis |
| math:usesSolutionPattern | solution_pattern:roots_coefficients_symmetric_expression |
| math:usesSolutionPattern | solution_pattern:substitution_factorization |